aljabar abstrak

Contoh Aljabar Abstrak

Aljabar abstrak

Aljabar abstrak memperluas konsep-konsep yang biasanya ditemukan dalam aljabar dasar dan dalam angka-angka aritmatika ke konsep yang lebih umum. Berikut ini adalah konsep dasar dalam aljabar abstrak.
majelis

Daripada memperhatikan berbagai jenis angka, aljabar abstrak berhubungan dengan seperangkat konsep yang lebih umum: sekumpulan objek (elemen yang dipanggil) yang dipilih dari properti tertentu untuk keseluruhan. Semua koleksi jenis yang umum dikenal ditetapkan. Contoh dari set yang lain adalah himpunan semua dua-ke-dua matrikss, himpunan semua polinomialberderajat 2 (ax2 + bx + c), himpunan semua vektor dua dimensi di lapangan, dan berbagai kelompok terbatas sebagai kelompok siklis, yang merupakan kelompok dengan bilangan bulat modulo, Set teori adalah cabang logika dan secara teknis itu bukan cabang aljabar.
Operasi biner

Jumlah dari tujuan (+) adalah abstrak untuk memberikan operasi biner, misalnya *. Tujuan operasi biner menjadi tidak berarti tanpa serangkaian operasi yang ditetapkan. Untuk dua elemen a dan b dalam himpunan S, a * b adalah elemen lain dari himpunan; kondisi ini disebut penutupan. Jumlah (+), pengurangan (-), perkalian (×), dan sebagian (÷) dapat berupa operasi biner ketika didefinisikan pada set yang berbeda, sebagai penjumlahan dan perkalian matriks, vektor dan polinomial.

Contoh umum

operasi biner adalah penjumlahan (+) dan perkalian (×) angka dan matriks, serta komposisi fungsi pada satu set. Sebagai contoh,

Dalam himpunan bilangan real R, f (a, b) = a + b adalah operasi biner karena penjumlahan dua bilangan real adalah bilangan real.
Dalam himpunan bilangan natural N, f (a, b) = a + b adalah operasi biner karena penjumlahan dua bilangan asli adalah bilangan asli. Ini adalah operasi biner yang berbeda dari yang sebelumnya karena pengaturan yang berbeda.
Pada set M (2.2), 2 × 2 matriks dengan input adalah bilangan real, f (A, B) = A + B adalah operasi biner karena penjumlahan dari dua matriks adalah 2 × 2 matriks.
Pada set M (2.2), 2 × 2 array dengan input adalah bilangan real, f (A, B) = AB adalah operasi biner karena produk dari dua matriks adalah 2 × 2 matriks.
Untuk set C, misalkan S adalah himpunan semua fungsi H: C → C. Definisikan f: S × S → S dengan f (h1, h2) (c) = h1 ∘ h2 (c) = h1 (h2 (c)) untuk semua c ∈ C, komposisi dari dua fungsi H1 dan H2 di S. Kemudian operasi biner fadalah karena komposisi dari dua fungsi adalah fungsi lain pada himpunan C (yaitu, anggota S) .

Elemen identitas

Angka nol dan satu adalah abstrak untuk memberikan makna elemen identitas untuk suatu operasi. Nol adalah elemen identitas dengan tambahan dan satu adalah elemen identitas untuk perkalian. Untuk operator biner umum * elemen identitas harus memenuhi a * e = a dan e * a = a, dan harus tunggal, jika ada. Ini berlaku untuk jumlah seperti + 0 = a dan 0 + a = a dan perkalian a × 1 = a dan 1 × a = a. Tidak semua perangkat operator dan kombinasi memiliki elemen identitas; misalnya, himpunan bilangan alami positif (1, 2, 3, …) tidak memiliki elemen identitas untuk penjumlahan.
Elemen terbalik atau elemen kembali

Angka negatif memunculkan konsep elemen terbalik. Selanjutnya, invers a ditulis sebagai -a; dan untuk perkalian, kebalikannya ditulis sebagai – 1. Unsur terbalik yang umum untuk dua bagian a – 1 memenuhi sifat bahwa a * a – 1 = eea – 1 * a = e, di mana e adalah elemen identitas.

associativity
Jumlah bilangan bulat memiliki properti yang disebut associativity. Yaitu, mengelompokkan angka-angka yang dijumlahkan tidak mengubah hasil. Misalnya: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Secara umum, ini menjadi (a * b) * c = a * (b * c). Properti ini juga berlaku untuk sebagian besar operasi biner, tetapi tidak untuk deduksi, pembagian atau perkalian oktonion.
Komutativitas

Jumlah dan penggandaan bilangan real adalah komutatif. Artinya, urutan angka tidak mengubah hasil. Misalnya: 2 + 3 = 3 + 2. Secara umum, ini menjadi * b = b * a. Properti ini tidak berlaku untuk semua operasi biner. Misalnya, perkalian matriks dan perkalian kuartener, keduanya tidak komutatif.
kelompok
Kombinasi dari konsep di atas menyediakan salah satu struktur yang paling penting dalam matematika: kelompok. Grup adalah kombinasi dari himpunan S dan operasi biner *, ditentukan dengan cara apa pun yang dipilih, tetapi dengan properti berikut:

Ada elemen identitas dan, sehingga untuk setiap anggota S, e * a dan a * dan keduanya identik dengan a.
Setiap elemen memiliki kebalikan: untuk setiap anggota S, ada anggota a-1 sedemikian rupa sehingga * a-1 dan a-1 * a keduanya identik dengan elemen identitas.
Operasi adalah asosiatif: jika a, b dan c adalah anggota S, maka (a * b) * c identik dengan * (b * c).

Sumber : Rumus.co.id